Persamaan Lingkaran

selamat datang di blog saya..... lama tidak publikasi semoga materi ini bermanfaat ya.....

MATERI 4

PERSAMAAN LINGKARAN

Apa itu lingkaran? Apa Persamaan Lingkaran?

Lingkaran adalah bangun datar (dua dimensi) yang tersusun dari himpunan titik-titik yang punya jarak yang sama terhadap satu titik tertentu yang kemudian disebut pusat lingkaran. Dan jarak yang sama dari himpunan titik ke pusat atau sebaliknya disebut dengan jari-jari. Sedangkan yang disebut persamaan lingkaran adalah persamaan yang membentuk fungsi yang memetakan x ke y hingga membentuk grafik berbentuk lingkaran.

Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0,0)

Perhatikan sobat, jika titik A (X_A,Y_A) terletak pada sebuah lingkaran dengan pusat (0,0). Otomatis jari-jari lingkarannya adalah OA. Maka dengan menggunakan aturan pythagoras kita bisa menggunakan rumus berikut:

r²=(X_A-0)²+(Y_A-0)²
r²=X_A²+Y_A²
Jadi Persamaan Lingkaran dengan pusat (0,0) adalah

 x²+y²= r²

Buat lebih memahamkan sobat terkait persamaan lingkaran di atas berikut contoh soalnya. Jika  ada sebuah lingkaran pusatnya (0,0) dan melalui titik  (-6,8) maka tentukan persamaan dari lingkaran tersebut?

Jawab :
r²=x²+y²
r²=(-6)²+8²
r²=36+64
r² = 100 maka r = akar 100 = 10
Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah  x²+y²= 100

Persamaan Lingkaran yang Berpusat di Titik A (a,b)

Jika ada sebuah lingkaran dengan pusat A (a,b) dan ada sebuah titik sebut saja B (x,y) terletak pada lingkaran tersebut, maka besarnya jari-jari dari lingkaran tersebut dapat ditentukan dengan

Jadi Persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (a,b) dengan jari-jari r adalah d

(x-a)² + (y-b)²= r²

Contoh Soal,

Tentukan persamaan sebuah lingkaran yang pusatnya (5,4) dan menyinggung sumbu y.

Jawaban

Jika sebuah lingkaran menyinggung sumbu y maka jari-jarinya adalah senilai x. 

jadi dari soal tersebut telah ketemu nilai r = 5. Untuk persamaanya tinggal kita masukkan ke

(x-5)²+(y-4)²=5²
x²-10x+25+y²-8y+16=25
x²+y²-10x-8y=25-16
x²+y²-10x-8y = 9

Tadi kita telah belajar bagaimana menentukan persamaan sebuah lingkaran dengan diketahui pusat dan juga salah satu titiknya. Sekarang kalau ditanya sebaliknya, berapa pusat dan jari-jari lingkaran jika diketahui persamaannya? Itu ngga sulit, berikut caranya

kita perhatikan persamaan lingkaran berpusat di (a,b)

(x-a)²+(y-b)²=r²(dijabarkan)
x²-2ax+a²+y²-2by+b²=r²
x²+y²-2ax-2by+a²+b²=r²
x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²= 0

Jika a²+b²-r²=c           maka
x²+y²-2ax-2by+c= 0

persamaan di atas bisa didapat

• untuk mencari titik pusat kita hanya perlu mengalikan nilai x dan y dari persamaan dengan -1/2 untuk mendapatkan titik pusat lingkaran (x,y) dengan syarat persamaan harus terlebih dahulu ada dalam bentuk x²+y²-2ax-2by+c= 0
• untuk mencari jari-jari dapat didapat dari persamaan

a²+b²-r²=c
r² = a²+b²- c

maka r = akar dari [a²+b²- c]

Contoh: :
Coba sobat tentukan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari dari persamaan lingkaran 3x²+3y²+30x+72 = 0

Jawaban
dari persamaan  3x²+3y²+30x+72 = 0 harus kita buat dalam bentuk persamaan lingkaran  x²+y²-2ax-2by+c= 0  yaitu dengan membagi ruas kanan dan kiri persamaan lingkaran dengan angka 3

3x²+3y²+30x+72 =0(masing-masingruasdibagi3)
x²+y²+10x+24 = 0

::Koordinat titik pusatnya (a,b)
a = -1/2 x 10 = -5
b = -1/2 x 0 = 0 (karena dalam persamaan tidak ada nilai  y, maka y bernilai 0)
jadi koordinat titik pusatnya (-5,0)

Persamaan garis singgung

1.      Untuk lingkaran dengan pusat di O(0,0) dan jari-jari r